고차 미분방정식의 구조
$n$차 선형 미분방정식은 최고 차수의 미분에 의해 특징지어집니다. 일반적인 형태는 식 (1)로 정의됩니다:
$$P_0(t) \frac{d^n y}{dt^n} + P_1(t) \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + \dots + P_{n-1}(t) \frac{dy}{dt} + P_n(t)y = G(t)$$ (1)
이론적 분석을 용이하게 하기 위해, 관심 구간에서 $P_0(t)$가 0이 아니라고 가정하고 이를 나누어 방정식을 정규화하는 경우가 많습니다. 이렇게 얻어지는 것이 표준형 (식 2):
$$L[y] = \frac{d^n y}{dt^n} + p_1(t) \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + \dots + p_{n-1}(t) \frac{dy}{dt} + p_n(t)y = g(t)$$ (2)
연산자 표기법과 상수 계수
$n$개의 미분의 복잡성은 하나의 선형 연산자 $L$로 통합됩니다. 계수가 상수($a_n$)일 때, 식은 다음과 같이 간단해집니다:
$L[y] = a_0y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1}y' + a_ny = g(t)$
이 표기법은 $L$가 선형으로 작용함을 강조합니다: $L[c_1y_1 + c_2y_2] = c_1L[y_1] + c_2L[y_2]$. 이 원리는 일반해가 보완해 ($y_c$)와 특수해 ($Y$)로 구성됨을 보장합니다.
다음 그림을 고려하세요: 그림 4.2.4: 질량이 $m_1, m_2$이고 변위가 $u_1, u_2$인 이중 스프링-이중 질량 시스템입니다. 물리학은 두 개의 결합된 2차 방정식을 도출합니다. $u_1$을 대입을 통해 고립시키면 단일한 4차 방정식을 생성합니다. 이를 해결하기 위해 4개의 초기 조건 (각 질량의 위치와 속도)이 필요하며, 유일한 물리적 경로를 찾기 위해 필수적입니다.
실제 예제: 동차 해
미분방정식 $y''' - y'' - y' + y = 0$의 일반해를 구하세요:
예: $y = e^{rt}$ 라고 가정합니다. 이 값을 미분방정식에 대입하면 $r^3 - r^2 - r + 1 = 0$이 됩니다.
항별 묶음을 이용하여 인수분해: $r^2(r - 1) - 1(r - 1) = 0 \implies (r^2 - 1)(r - 1) = 0$.
이것은 $(r - 1)(r + 1)(r - 1) = (r - 1)^2(r + 1) = 0$로 전개됩니다.
근은 $r = 1$ (중복도 2)와 $r = -1$입니다. $r=1$이 반복되므로, 두 번째 항에 $t$를 곱합니다.
$y_c(t) = c_1e^t + c_2te^t + c_3e^{-t}$